Álgebra: expresiones, ecuaciones e inecuaciones

Lenguaje algebraico y ecuaciones lineales

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Al terminar podrás traducir una situación a una expresión o a una ecuación lineal, resolverla y detectar errores en un procedimiento.

Idea clave

Para traducir una situación, nombra la incógnita y escribe cada frase como una operación:

«el doble de n»: 2n; «5 más que el doble de n»: 2n + 5; «el doble de la suma de n y 5»: 2(n + 5).
«hace 8 años»: x − 8; «dentro de 5 años»: x + 5.
En una mezcla, la cantidad que no cambia da la ecuación: si a una salmuera con 2 kg de sal se le agrega agua, la sal sigue siendo 2 kg.

Para evaluar una expresión, reemplaza la letra entre paréntesis: si Q(x) = 2x² − 3x, entonces Q(−2) = 2 × 4 + 6 = 14.

ax + b = c → ax = c − b → x = (c − b) ÷ a

Cada paso hace la misma operación en los dos lados; por eso un término que «pasa» al otro lado cambia de signo.

Al resolver:

Distribuye con cuidado los signos: −3(x − 4) = −3x + 12.
Si hay denominadores, multiplica todos los términos de los dos lados por su mínimo común múltiplo.
Comprueba reemplazando la solución en la ecuación original. Si no cumple, revisa paso por paso: el error está en el primer paso cuya ecuación ya no tiene la misma solución que la anterior.

También te puede salir:

Alcance: distancia = rapidez × tiempo. Un bus sale 2 h antes a 50 km/h; un carro que lo sigue a 75 km/h lo alcanza cuando han recorrido lo mismo: 50(t + 2) = 75t, y t = 4 h.
Mezcla de concentraciones: se suma la sustancia pura. Con x kg al 10 % y 15 − x kg al 40 % se obtienen 15 kg al 20 %: 0,10x + 0,40(15 − x) = 0,20 × 15.

Ejemplo resuelto

Tomás tiene hoy cuatro veces los años de su sobrino. Dentro de 12 años, Tomás tendrá el doble de años que su sobrino. ¿Cuántos años tiene Tomás hoy?

1
Nombra la incógnita: si el sobrino tiene s años, Tomás tiene 4s.
2
Dentro de 12 años los dos tendrán 12 años más: el sobrino, s + 12, y Tomás, 4s + 12.
3
Traduce la condición «tendrá el doble»: 4s + 12 = 2(s + 12). Al distribuir: 4s + 12 = 2s + 24.
4
Resta 2s y 12 en los dos lados: 4s − 2s = 24 − 12, así que 2s = 12 y s = 6. Tomás tiene 4 × 6 = 24 años.
5
Comprueba: dentro de 12 años tendrán 36 y 18 años, y 36 = 2 × 18.

Tomás tiene 24 años.

Practica con guía

Ejercicio 1

Valentina resolvió la ecuación (x − 2)/4 − (x + 1)/6 = 2 así:

Paso 1: 3(x − 2) − 2(x + 1) = 24
Paso 2: 3x − 2 − 2x − 2 = 24
Paso 3: x − 4 = 24
Paso 4: x = 28

¿En qué paso cometió Valentina el primer error?

Paso 1Paso 2Paso 3Paso 4

Ejercicio 2

Tres amigas de La Paz reúnen 370 bolivianos para comprar un regalo. Ana pone 30 bolivianos más que Bea, y Carla pone el doble que Ana. ¿Cuánto dinero pone Carla?

70 bolivianos100 bolivianos200 bolivianos290 bolivianos

Errores frecuentes

Pasar un término al otro lado sin cambiarle el signo.
Lo que se resta en un lado se resta en el otro: de 4x − 5 = 2x + 7 se obtiene 4x − 2x = 7 + 5, es decir, 2x = 12 y x = 6.
Distribuir mal un signo menos: −4(x − 2) = −4x − 8.
El −4 multiplica a los dos términos: (−4)(x) = −4x y (−4)(−2) = +8, así que −4(x − 2) = −4x + 8.
Traducir «5 más que el doble de n» como 2(n + 5).
Primero el doble y luego se suman 5: 2n + 5. Con n = 10: 2 × 10 + 5 = 25, mientras que 2(10 + 5) = 30.

Para recordar

Nombra la incógnita y traduce cada frase a una operación antes de plantear la ecuación.
Lo que haces en un lado lo haces en el otro: un término que pasa de lado cambia de signo.
Comprueba la solución en la ecuación original; si falla, busca el primer paso que cambia la solución.

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