Ecuaciones no lineales y sucesiones
Al terminar podrás resolver ecuaciones cuadráticas y las que se reducen a ellas, usar el discriminante y elegir la solución que tiene sentido en el problema.
Una ecuación cuadrática tiene la forma ax² + bx + c = 0, con a ≠ 0. Si se puede factorizar, usa que un producto vale 0 solo si alguno de sus factores vale 0: (x − 3)(x + 5) = 0 da x = 3 o x = −5. Si no, usa la fórmula general:
La suma de las soluciones es −b/a y su producto es c/a: sirven para comprobar o para calcular sin hallar las soluciones.
Algunas ecuaciones se reducen a una cuadrática:
En un problema, descarta las soluciones sin sentido, como una longitud o un tiempo negativos.
La huerta rectangular de un colegio de Arequipa tiene un largo que mide 5 m más que el doble de su ancho. Si la huerta ocupa 75 m², ¿cuáles son sus medidas?
Si el ancho mide x metros, el largo mide 2x + 5. El área es x(2x + 5) = 75, es decir, 2x² + 5x − 75 = 0, con a = 2, b = 5 y c = −75.
Calcula el discriminante: Δ = 5² − 4 × 2 × (−75) = 25 + 600 = 625, y √625 = 25.
Aplica la fórmula, dividiendo entre 2a = 4: x = (−5 + 25) ÷ 4 = 20/4 = 5 o x = (−5 − 25) ÷ 4 = −30/4 = −7,5.
Descarta x = −7,5, porque una longitud no puede ser negativa. El ancho es 5 m y el largo, 2 × 5 + 5 = 15 m.
Comprueba: 5 × 15 = 75 m².
La huerta mide 5 m de ancho y 15 m de largo.
Ejercicio 1
¿Cuál es la solución de la ecuación √(2x + 7) = x + 2?
Ejercicio 2
Si r y s son las soluciones de la ecuación 2x² − 6x + 1 = 0, ¿cuál es el valor de r² + s²?
Dividir entre a en lugar de 2a en la fórmula general.
En 2x² − 5x + 2 = 0, Δ = 25 − 16 = 9 y x = (5 ± 3) ÷ 4, es decir, 2 o 1/2; dividir entre 2 daría 4 y 1, que no cumplen la ecuación.
Equivocar el signo de −4ac cuando c es negativo.
En 3x² + 2x − 5 = 0: −4 × 3 × (−5) = +60, así que Δ = 4 + 60 = 64 > 0 y hay dos soluciones reales, x = 1 y x = −5/3.
No verificar ni descartar soluciones.
Al elevar al cuadrado √(x + 7) = x − 5 salen x = 9 y x = 2, pero x = 2 da √9 = 3 y 2 − 5 = −3: se descarta. En un problema, una medida negativa también se descarta.
Factoriza si puedes; si no, usa x = (−b ± √Δ) ÷ (2a), con Δ = b² − 4ac.
El signo de Δ dice si hay dos, una o ninguna solución real.
Verifica en la ecuación original y descarta las soluciones extrañas o sin sentido en el problema.
Con un pase, aquí practicas 6 preguntas del banco que usan lo que acabas de aprender. Ver planes