Funciones lineales y cuadráticas
Al terminar podrás construir un modelo lineal a partir de datos e interpretar su pendiente como razón de cambio.
Una función lineal f(x) = mx + b describe una cantidad que cambia a ritmo constante: cada vez que x aumenta 1, y cambia siempre en la misma cantidad, m. Por eso su gráfica es una recta.
Como el ritmo es constante, el cambio de y siempre es m × (cambio de x). Con la pendiente y un punto se despeja el valor inicial: b = y₁ − m · x₁. Una pendiente en porcentaje es la misma razón multiplicada por 100: una rampa del 6 % sube 6 cm por cada 100 cm de avance horizontal.
Para saber cuándo dos modelos lineales dan el mismo valor, se igualan sus expresiones y se despeja x: es el punto donde se cruzan las rectas.
Un taller de confección de Guayaquil (Ecuador) tiene un costo fijo mensual y paga lo mismo por cada camiseta que produce. Producir 40 camisetas en un mes le cuesta US$ 520, y producir 70 camisetas, US$ 760. ¿Cuál es el costo fijo, cuánto cuesta cada camiseta adicional y cuánto costaría producir 100 camisetas en un mes?
Como el costo de cada camiseta es constante, el costo C es una función lineal del número n de camisetas. Los datos son dos puntos de la recta: (40, 520) y (70, 760).
Calcula la pendiente: m = (760 − 520) ÷ (70 − 40) = 240 ÷ 30 = 8. Cada camiseta adicional cuesta US$ 8 (dólares por camiseta).
Despeja el valor inicial con uno de los puntos: b = 520 − 8 × 40 = 520 − 320 = 200. El costo fijo es US$ 200, lo que cuesta el mes aunque no se produzca nada.
Escribe el modelo y compruébalo con el otro punto: C(n) = 200 + 8n, y C(70) = 200 + 560 = 760, que coincide con el dato.
Evalúa en n = 100: C(100) = 200 + 8 × 100 = 200 + 800 = US$ 1.000.
El costo fijo es US$ 200, cada camiseta adicional cuesta US$ 8 y producir 100 camisetas cuesta US$ 1.000.
Ejercicio 1
| Avance horizontal (km) | Altitud (m) |
|---|---|
| 0 | 1.200 |
| 2 | 1.290 |
| 4 | 1.380 |
| 6 | 1.470 |
En un tramo recto de una carretera de montaña de Costa Rica, la altitud aumenta de manera constante con el avance horizontal, como muestra la tabla. ¿Cuál es la pendiente de ese tramo, expresada en porcentaje?
Ejercicio 2
Calcular la pendiente al revés, dividiendo el cambio de x entre el cambio de y.
Arriba va la variable que depende: si una piscina pasa de 50 m³ a 32 m³ de agua entre la hora 1 y la hora 4, m = (32 − 50) ÷ (4 − 1) = −6 m³ por hora, no (4 − 1) ÷ (32 − 50).
Olvidar el signo: dar una razón de cambio positiva a algo que disminuye.
Si una vela mide 30 cm y 3 horas después mide 21 cm, la razón de cambio es (21 − 30) ÷ 3 = −3 cm por hora.
Sumar el valor inicial cuando se pide un cambio: creer que si C = 5.000 + 300n y n aumenta 4, C aumenta 5.000 + 1.200.
El valor inicial se cancela al restar: el cambio de C es 300 × 4 = 1.200, sin importar el cargo fijo.
La pendiente m = (cambio de y) ÷ (cambio de x) es la razón de cambio: cuánto cambia y por cada unidad de x, con unidades y signo.
El valor inicial b es el valor de y cuando x = 0; se despeja con b = y₁ − m · x₁.
Para saber cuándo dos modelos lineales coinciden, iguala sus expresiones y despeja x.
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