Exponenciales, logaritmos y cálculo
Al terminar podrás reconocer y usar modelos de crecimiento o decrecimiento exponencial dados por tablas, gráficas o porcentajes constantes.
En un crecimiento lineal se suma siempre la misma cantidad; en uno exponencial se multiplica siempre por el mismo factor. Para reconocerlo en una tabla con pasos de tiempo iguales, divide cada valor entre el anterior: si el cociente es constante, el modelo es exponencial.
| Periodos | Lineal (+100) | Exponencial (×2) |
|---|---|---|
| 0 | 100 | 100 |
El exponente t/T cuenta cuántos periodos han pasado: si algo se triplica cada 5 horas, en 20 horas hay 20 ÷ 5 = 4 periodos y se multiplica por 3⁴ = 81, no por 3 × 4 = 12. Crecer un 20 % anual durante 2 años es multiplicar por 1,2² = 1,44 (un 44 %, no un 40 %), porque el segundo año el 20 % se calcula sobre el valor ya aumentado.
Si b > 1, la cantidad crece cada vez más rápido; si 0 < b < 1, decrece y se acerca a 0 sin llegar nunca. En un modelo como T = 18 + 60 · (1/2)^(t/15), lo que se reduce a la mitad es la diferencia con 18, el valor al que se acerca la gráfica.
En un invernadero de Montevideo (Uruguay) se cuenta cada 2 semanas el número de pulgones de una plantación, como muestra la tabla. ¿Qué tipo de crecimiento muestran los datos, qué expresión da el número N de pulgones t semanas después del primer conteo y cuántos habrá a las 10 semanas?
| Tiempo t (semanas) | Pulgones N |
|---|---|
| 0 | 300 |
| 2 | 900 |
| 4 | 2.700 |
| 6 | 8.100 |
Diferencias: 900 − 300 = 600, 2.700 − 900 = 1.800 y 8.100 − 2.700 = 5.400. No son constantes, así que el crecimiento no es lineal.
Cocientes: 900 ÷ 300 = 3, 2.700 ÷ 900 = 3 y 8.100 ÷ 2.700 = 3. El cociente es constante: el crecimiento es exponencial, con factor 3 cada 2 semanas.
Modelo: N₀ = 300, b = 3 y T = 2, así que N(t) = 300 · 3^(t/2). Comprobación con t = 6: 300 · 3³ = 300 · 27 = 8.100.
Ejercicio 1
Gracias a un tratamiento, la cantidad de un contaminante en un lago del sur de Chile disminuye un 20 % cada año respecto a la del año anterior. Si hoy hay 500 kg de contaminante, ¿cuántos kilogramos quedarán dentro de 3 años?
Ejercicio 2
Un video publicado por un colegio de San José (Costa Rica) tenía 400 reproducciones al publicarse y 6.400 cuatro horas después. Si cada hora el número de reproducciones se multiplicó por el mismo factor, ¿cuántas tenía 3 horas después de publicado?
Multiplicar por el número de periodos en vez de elevar el factor.
Duplicarse 5 veces es multiplicar por 2⁵ = 32, no por 2 × 5 = 10 ni por 5.
Sumar los porcentajes de varios periodos.
Crecer un 5 % dos años seguidos es multiplicar por 1,05 × 1,05 = 1,1025: un 10,25 %, no un 10 %.
Usar el tiempo total como exponente cuando el periodo no es 1.
Si una cantidad se reduce a la mitad cada 4 horas, a las 20 horas el factor es (1/2)^(20/4) = (1/2)⁵ = 1/32, no (1/2)^20.
Exponencial = factor constante: divide valores consecutivos para reconocerlo.
N(t) = N₀ · b^(t/T): b es el factor de cada periodo T y t/T es el número de periodos.
Un cambio del r % por periodo es el factor 1 + r o 1 − r; los factores se multiplican, no se suman.
Con un pase, aquí practicas 7 preguntas del banco que usan lo que acabas de aprender. Ver planes
| 1 | 200 | 200 |
|---|
| 2 | 300 | 400 |
|---|
| 3 | 400 | 800 |
|---|
| 4 | 500 | 1.600 |
|---|
| 5 | 600 | 3.200 |
|---|
A las 10 semanas han pasado 10 ÷ 2 = 5 periodos: N(10) = 300 · 3⁵ = 300 · 243 = 72.900.
El modelo también sirve entre mediciones: a la semana 1, N(1) = 300 · 3^(1/2) = 300 · √3 ≈ 520, no 600, que sería el punto medio en un crecimiento lineal.
Es un crecimiento exponencial: N(t) = 300 · 3^(t/2), y a las 10 semanas habrá 72.900 pulgones.