Geometría y medición
Ángulos y polígonos
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Al terminar podrás calcular ángulos entre rectas paralelas, en polígonos y en la circunferencia, y usar las propiedades de triángulos y cuadriláteros.
Idea clave
Paralelas cortadas por una transversal: los ángulos correspondientes (en la misma posición en cada cruce) y los alternos internos (entre las paralelas, a lados opuestos de la transversal) son iguales; los conjugados internos (entre las paralelas y del mismo lado de la transversal) suman 180°.
Suma de los ángulos interiores de un polígono de n lados = (n − 2) · 180°
En todo triángulo los ángulos suman 180°, al mayor ángulo se opone el mayor lado y cada lado es menor que la suma de los otros dos (desigualdad triangular). Los ángulos alrededor de un punto suman 360°.
En una circunferencia, un ángulo inscrito (con el vértice sobre la circunferencia) mide la mitad del ángulo central que abarca el mismo arco. Por eso todo ángulo inscrito que abarca un diámetro mide 90°.
También te puede salir:
- Ángulo en zigzag entre dos paralelas: traza por su vértice otra paralela; el ángulo queda partido en dos alternos internos y mide su suma.
- Tangente y secante desde un punto exterior P: PT² = PA · PB, con T el punto de tangencia y A y B los cortes de la secante (PB es el segmento completo).
- Ángulo semiinscrito (entre una tangente y una cuerda): mide la mitad del arco que abarca, como un inscrito.
- Cuadriláteros: en un paralelogramo las diagonales se cortan en su punto medio; en el rectángulo además son iguales y en el rombo, perpendiculares (el cuadrado cumple todo). El trapecio isósceles tiene diagonales iguales, y la cometa, perpendiculares.
Ejemplo resuelto
Un vitralista de Oaxaca (México) diseña una ventana con forma de polígono regular en la que cada ángulo exterior mide 24°. ¿Cuántos lados tiene la ventana, cuánto mide cada ángulo interior y cuánto suman todos sus ángulos interiores?
- 1
Los ángulos exteriores de un polígono convexo suman 360°, porque al recorrer su borde se da una vuelta completa. Como son iguales: n = 360° ÷ 24° = 15 lados.
- 2
Cada ángulo interior es suplementario de su exterior: 180° − 24° = 156°.
- 3
Suma de los ángulos interiores: (15 − 2) · 180° = 13 · 180° = 2.340°.
- 4
Comprueba: 15 ángulos de 156° suman 15 · 156° = 2.340°.
La ventana tiene 15 lados, cada ángulo interior mide 156° y todos suman 2.340°.
Practica con guía
Ejercicio 1
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Las rectas p y q de la figura son paralelas y una transversal las corta. Los ángulos marcados, de (3x + 25)° y (2x + 30)°, están entre p y q y del mismo lado de la transversal. ¿Cuánto mide el ángulo de (2x + 30)°?
Errores frecuentes
Tomar como iguales dos ángulos que son suplementarios, o al revés.
Entre paralelas, los alternos internos son iguales, pero los conjugados internos suman 180°: si uno mide 65°, su conjugado mide 115°.
Creer que el ángulo inscrito es igual al central.
Si el ángulo central mide 150°, el inscrito que abarca el mismo arco mide 75°.
Calcular la suma de los ángulos interiores como n · 180°.
Un dodecágono (12 lados) suma (12 − 2) · 180° = 1.800°, no 2.160°; cada ángulo de un dodecágono regular mide 1.800° ÷ 12 = 150°.
Para recordar
Paralelas y transversal: correspondientes y alternos internos son iguales; conjugados internos suman 180°.
En un polígono de n lados, los ángulos interiores suman (n − 2) · 180° y los exteriores, 360°.
Un ángulo inscrito mide la mitad del central que abarca el mismo arco; en un triángulo, al mayor ángulo se opone el mayor lado.
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