Razones trigonométricas

Idea clave

En un triángulo rectángulo, cada ángulo agudo θ tiene tres lados de referencia: la hipotenusa (H), opuesta al ángulo recto; el cateto opuesto (CO), que no toca a θ, y el cateto adyacente (CA), que forma θ junto con la hipotenusa.

sen θ = CO/H cos θ = CA/H tan θ = CO/CA

Para resolver un problema:

• Dibuja el triángulo y marca el ángulo conocido.
• Elige la razón que relaciona el lado que conoces con el que buscas: si interviene la hipotenusa, seno o coseno; si son los dos catetos, tangente.
• Despeja: si la incógnita queda en el denominador, se divide.
• Si se observa desde dos puntos alineados con el objeto, escribe una ecuación con cada triángulo (la altura h es la misma en ambas) y resuelve el sistema.

Los ángulos de elevación y de depresión se miden desde la horizontal del observador; el de depresión es igual al de elevación visto desde el objeto. Ojo: las razones no son proporcionales al ángulo (tan 60° = √3 es el triple de tan 30° = √3/3, no el doble).

Razones de los ángulos notables

Ángulo	sen	cos	tan
30°	1/2	√3/2	√3/3
45°	√2/2	√2/2	1
60°	√3/2	1/2	√3

Ejemplo resuelto

Un dron se mantiene quieto a 21 m de altura frente a la torre del reloj de una plaza de Sucre (Bolivia). Desde su cámara, la base de la torre se ve con un ángulo de depresión de 60°, y la punta, con uno de 30° de elevación (vea la figura). ¿Cuál es la altura h de la torre?

Practica con guía

Errores frecuentes

• Usar la tangente con la hipotenusa: para un tobogán recto de 4 m que forma 45° con el suelo, calcular su altura como 4 · tan 45° = 4 m.

  Si el dato es la hipotenusa, usa seno o coseno: altura = 4 · sen 45° = 2√2 ≈ 2,83 m. Un cateto siempre mide menos que la hipotenusa.

• Confundir seno y coseno cuando el ángulo se mide desde la vertical.

  El cateto opuesto es el que no toca el ángulo. Si un poste inclinado de 12 m forma 30° con la vertical, la altura de su punta es el cateto adyacente a ese ángulo: 12 · cos 30° = 6√3 ≈ 10,4 m.

• Despejar mal cuando la incógnita está en el denominador: de tan 60° = 30/d, escribir d = 30 · tan 60°.

  Pasa d a multiplicar y divide: d = 30 ÷ tan 60° = 30/√3 = 10√3 ≈ 17,3 m. Comprueba que el cateto mayor (30 m) quede frente al ángulo mayor (60°).

Para recordar

• sen θ = CO/H, cos θ = CA/H y tan θ = CO/CA, siempre respecto al ángulo que conoces.

• Elige la razón que une el dato conocido con el buscado; si la incógnita queda en el denominador, divide.

• Elevación y depresión se miden desde la horizontal; las razones dependen del ángulo, pero no son proporcionales a él.

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