Conteo y probabilidad
Conjuntos, diagramas de Venn y lógica
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Al terminar podrás contar los elementos de uniones e intersecciones con diagramas de Venn y negar o invertir una proposición condicional.
Idea clave
Un diagrama de Venn separa a los elementos en regiones que no se cruzan. Si sumas n(A) + n(B), los elementos de la intersección A ∩ B quedan contados dos veces; por eso se restan una vez. Los elementos de A que no están en B forman A − B («solo A»), y los que no están en ningún conjunto son el total menos n(A ∪ B). Con tres conjuntos, llena el diagrama desde el centro hacia afuera: primero los que están en los tres, luego los de exactamente dos y al final los de uno solo. Un conjunto de n elementos tiene 2^n subconjuntos.
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B)
Un condicional «si p, entonces q» (p → q) solo es falso cuando p es verdadera y q es falsa. Por eso su negación es «p y no q» (p ∧ ¬q), y no otro condicional.
| Forma | Enunciado | ¿Equivale a p → q? |
|---|---|---|
| Recíproca | q → p | No |
| Inversa | ¬p → ¬q | No |
| Contrarrecíproca | ¬q → ¬p | Sí |
Ejemplo resuelto
En un colegio de Guayaquil se preguntó a 110 estudiantes en qué talleres participan: 60 en música, 45 en deporte y 35 en teatro; 20 en música y deporte, 15 en música y teatro, 10 en deporte y teatro, y 5 en los tres talleres. ¿Cuántos participan en exactamente un taller y cuántos en ninguno?
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Empieza por el centro del diagrama: 5 estudiantes están en los tres talleres.
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Exactamente dos talleres: los datos de dos talleres incluyen a los 5 del centro, así que se restan. Música y deporte: 20 − 5 = 15; música y teatro: 15 − 5 = 10; deporte y teatro: 10 − 5 = 5.
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Solo un taller: música, 60 − 15 − 10 − 5 = 30; deporte, 45 − 15 − 5 − 5 = 20; teatro, 35 − 10 − 5 − 5 = 15. Exactamente un taller: 30 + 20 + 15 = 65.
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Al menos un taller: 30 + 20 + 15 + 15 + 10 + 5 + 5 = 100 (lo mismo da 60 + 45 + 35 − 20 − 15 − 10 + 5). Ningún taller: 110 − 100 = 10.
65 estudiantes participan en exactamente un taller y 10 en ninguno.
Practica con guía
Ejercicio 1
De 50 turistas que pasaron un fin de semana en Cartagena, 32 visitaron un museo, 25 fueron a una playa de las islas cercanas y 8 no hicieron ninguna de esas dos actividades. ¿Cuántos turistas hicieron solo una de las dos actividades?
Ejercicio 2
Considere la proposición «Si llueve, entonces el partido se suspende». ¿Cuál de estas proposiciones es su negación?
Errores frecuentes
Sumar n(A) + n(B) sin restar la intersección: de 30 estudiantes, 18 juegan fútbol, 15 baloncesto y 7 ambos; decir que 33 juegan al menos uno.
Los 7 de la intersección quedaron contados dos veces: 18 + 15 − 7 = 26 juegan al menos uno, y 30 − 26 = 4 no juegan ninguno.
Con tres conjuntos, restar las intersecciones de dos completas sin descontar a los que están en los tres.
Llena desde el centro: si 4 están en los tres conjuntos y 12 en A y B, en A y B pero no en C hay 12 − 4 = 8. Los datos de «A y B» incluyen al centro.
Creer que la recíproca de una proposición verdadera también es verdadera.
«Si un cuadrilátero es un cuadrado, es un rectángulo» es verdadera, pero su recíproca falla con un rectángulo de 2 × 5. La que siempre equivale a la original es la contrarrecíproca: «si no es un rectángulo, no es un cuadrado».
Para recordar
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B); los que no están en ningún conjunto son el total menos la unión.
Con tres conjuntos, llena el diagrama desde el centro hacia afuera.
p → q solo es falsa si p es verdadera y q falsa: equivale a su contrarrecíproca (¬q → ¬p), no a su recíproca, y su negación es p ∧ ¬q.
Preguntas tipo Saber 11 de este tema
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